ทรี (Tree)
ทรี (Tree) เป็นโครงสร้างข้อมูลที่ความสัมพันธ์ระหว่าง โหนดจะมีความสัมพันธ์ลดหลั่นกันเป็นลำดับชั้น (Hierarchical Relationship) ได้มีการนำรูปแบบทรีไปประยุกต์ใช้ในงานต่างๆ อย่างแพร่หลาย ส่วนมากจะใช้สำหรับแสดงความสัมพันธ์ระหว่างข้อมู
- โหนดที่อยู่ในระดับสูงสุดและไม่มีโหนดแม่ เรียกว่า โหนดราก Root Node จากรูป คือ โหนด A
- โหนดที่อยู่ต่ำกว่าโหนดแม่อยู่ระดับหนึ่ง เรียกว่า Child Node หรือ โหนดลูก จากรูป B , C , D และ E เป็น โหนดลูกของ A
- โหนดในระดับที่ต่ำลงมา หนึ่งระดับได้หลายๆ โหนด เรียกโหนดดังกล่าวว่า Parent Node หรือโหนดพ่อแม่ โหนด B ที่เป็นโหนดลูกของโหนด A ก็สามารถแตกออกเป็นโหนดย่อยๆ ได้แก่ F และ G ดังนั้น B จึงเป็นโหนดพ่อแม่ของ F และ G ในทำนองเดียวกัน A ก็เป็นโหนด พ่อแม่ของ B , C , D และ E
- เส้นเชื่อมแสดงความสัมพันธ์ระหว่างโหนดสองโหนด เรียกว่า กิ่ง (Branch or Edge) เป็นเส้นที่เชื่อมต่อระหว่างโหนดพ่อแม่กับโหนดลูก
- โหนดที่มีโหนดแม่เป็นโหนดเดียวกัน เรียกว่า Siblings หรือโหนดพี่น้อง คือ โหนดที่มีพ่อแม่เดียวกัน เช่น B , C , D , E เป็นโหนดพี่น้องกันเพราะมีโหนดพ่อแม่เดียวกัน คือ โหนด A และ F และ G เป็นโหนดพี่น้องกันโดยมี B เป็นโหนดพ่อแม่
- โหนดที่ไม่มีลูก เรียกว่า Leaf Node จากรูปโหนดที่ไม่มีโหนดลูก ได้แก่ F G H I J K L M
นิยามของทรี
1. นิยามทรีด้วยนิยามของกราฟ
ทรี คือ กราฟที่ต่อเนื่องโดยไม่มีวงจรปิด loop ในโครงสร้าง โหนดสองโหนดใดๆ ในทรีต้องมีทางติดต่อกันทางเดียวเท่านั้น และทรีที่มี N โหนด ต้องมีกิ่งทั้งหมด N-1 เส้น
2. นิยามทรีด้วยรูปแบบรีเคอร์ซีฟ
ทรี ประกอบด้วยสมาชิกที่เรียกว่า โหนด โดยที่ถ้าว่าง ไม่มีโหนดใดๆ เรียกว่านัลทรี (Null Tree) และถ้ามีโหนหนึ่งเป็นโหนดราก ส่วนที่เหลือจะแบ่งเป็นทรีย่อย (Sub Tree)
นิยามที่เกี่ยวข้องกับทรี
1. ฟอร์เรสต์ (Forest) หมายถึง กลุ่มของทรีที่เกิดจากการเอาโหนดรากของทรีออก หรือ เซตของทรีที่แยกจากกัน (Disjoint Trees)
2. ทรที่มีแบบแผน (Ordered Tree) หมายถึง ทรีที่โหนดต่างๆ ในทรีนั้นมีความสัมพันธ์ที่แน่นอน เช่น ไปทางขวา ไปทางซ้าย เป็นต้น
3. ทรีคล้าย (Similar Tree) คือ ทรที่มีโครงสร้าเหมือนกัน หรือทรีที่มีรูปร่างของทรีเหมือนกัน โดยไม่คำนึงถึงข้อมูลที่อยู่ในแต่ละโหนด
4. ทรีเหมือน (Equivalent Tree) คือ ทรีที่เหมือนกันโดยสมบูรณ์ โดยต้องเป็นทรีที่คล้ายกันและแต่ละโหนดในตำแหน่งเดียวกันมีข้อมูลเหมือนกัน
5. กำลัง (Degree) หมายถึง จำนวนทรีย่อยของโหนดนั้นๆ
6. ระดับของโหนด (Level of Node) คือ ระยะทางในแนวดิ่งของโหนดนั้น ๆ ที่อยู่ห่างจากโหนดราก เมื่อกำหนดให้ โหนดรากของทรีนั้นอยู่ระดับ 1 และกิ่งแต่ละกิ่งมีความเท่ากันหมด คือ ยาวเท่ากับ 1หน่วยซึ่งระดับของโหนดจะเท่ากับจำนวนกิ่งที่น้อยที่สุดจากโหนดรากไปยังโหน ดใด ๆ บวกด้วย 1และจำนวนเส้นทางตามแนวดิ่งของโหนดใด ๆ ซึ่งห่างจากโหนดราก เรียกวา ความสูง หรือความ ลึก
การแทนที่ทรีในหน่วยความจำหลัก
การแทนที่โครงสร้างข้อมูลแบบทรีในความจำหลักจะมีพอยเตอร์เชื่อมโยงจากโหนดแม่ไป ยังโหนดลูก แต่ละโหนดต้องมีลิงค์ฟิลด์เพื่อเก็บที่อยู่ของโหนดลูกต่าง ๆ นั้นคือจำนวน ลิงคฟิลด์ของแต่ละโหนดขึ้นอยู่กับจำนวนของโหนดลูกการแทนที่ทรี ซึ่งแต่ละโหนดมีจำนวนลิงค์ฟิลด์ไม่เท่ากันทำให้ยากต่อการปฏิบัติการ วิธีการแทนที่ที่ง่ายที่สุดคือ ทำให้แต่ละโหนดมีจำนวนลิงคฟิลด์เท่ากันโดยอาจใช่วิธีการต่อไปนี้
1. โหนดแต่ละโหนดเก็บพอยเตอร์ชี้ไปยังโหนดลูก ทุกโหนด การแทนที่ทรีด้วยวิธีนี้จะให้จำนวนฟิลด์ในแต่ละ โหนดเท่ากันโดยกำหนดใหม่ขนาดเท่ากับจำนวนโหนดลูกของโหนดที่มีลูกมากที่สุด โหนดใดไม่มีโหลดลูกก็ให้ค่า พอยเตอร์ในลิงค์ฟิลด์นั้นมีค่าเป็น Null และให้ลิงค์ฟิลด์แรกเก็บค่าพอยเตอร์ชี้ไปยังโหนด ลูกลำดับ ที่หนึ่ง ลิงค์ฟิลด์ที่สองเก็บค่าพอยเตอร์ชี้ไปยังโหนดลูก ลำดับที่สองและลิงค์ฟิลด์อื่นเก็บค่าพอยเตอร์ของโหนดลูก ลำดับถัดไปเรื่อย ๆ
2.แทนทรีด้วยไบนารีทรี เป็นวิธีแก้ปัญหาเพื่อลดการ สิ้นเปลืองเนื้อที่ในหน่วยความจำก็คือ กำหนดลิงค์ฟิลด์ใหม่จำนวนน้อยที่สุดเท่าที่จำเป็นเท่านั้นโดยกำหนดให้แต่ละ โหนดมีจำนวนลิงค์ฟิลด์สองลิงค์ฟิลด์-ลิงค์ฟิลด์แรกเก็บที่อยู่ของโหนดลูกคน โต-ลิงค์ฟิลด์ทสองเก็บที่อยู่ของโหนดพี่น้องที่เป็นโหนดถัดไปโหนดใดไม่มีโหน ดลูกหรือไม่มีโหนดพี่น้องให้ค่าพอยนเตอร์ใน ลิงค์ฟิลด์มีค่าเป็น Null
ไบนารีทรีที่ทุก ๆ โหนดมีทรีย่อยทางซ้ายและทรีย่อยทางขวา ยกเว้นโหนดใบ และโหนดใบทุกโหนดจะต้องอยู่ที่ระดับเดียวกันเรียกว่า ไบนารีทรีแบบสมบูรณ์การแปลงทรีทั่วไปให้เป็นไบนารีทรีขั้นตอนการแปลงทรีทั่วๆ ไปให้เป็นไบนารีทรี มีลำดับขั้นตอนการแปลง ดั้งต่อไปนี้
1. ให้โหนดแม่ชี้ไปยังโหนดลูกคนโต แล้วลบความสัมพันธ์ ระหว่างโหนดแม่และโหนดลูกอื่น ๆ
2. ให้เชื่อมความสัมพันธ์ระหว่างโหนดพี่น้อง
3. จบให้ทรีย่อยทางขวาเอียงลงมา 45 องศา
การท่องไปในไบนารีทรี
ปฏิบัติการที่สำคัญในไบนารีทรี คือ การท่องไปในไบนารีทรี (Traversing Binary Tree) เพื่อเข้าไปเยือนทุก ๆโหนดในทรี ซึ่งวิธีการท่องเข้าไปต้องเป็นไปอย่างมีระบบแบบแผน สามารถเยือนโหนดทุก ๆโหนด ๆ ละหนึ่งครั้งวิธีการท่องไปนั้นมีด้วยกันหลายแบบแล้วแต่ว่าต้องการลำดับขั้น ตอนการเยือนอย่างไร โหนดที่ถูกเยือนอาจเป็นโหนดแม่ (แทนด้วย N)
ทรีย่อยทางซ้าย (แทนด้วย L)
ทรีย่อยทางขวา (แทนด้วย R)
วิธีการท่องไปในทรีมี 6 วิธี แต่นิยมใช้กันมากคือ NLR , LNR , LRN
1. วิธี NLR ในลักษณะการเข้าถึงจะเริ่มต้นจากจุดแรกคือ N จากนั้นจึงเข้าไปทรีย่อยด้านซ้ายและเข้าถึงทรีย่อยด้านขวา
2. วิธี LNR สำหรับการเข้าถึงแบบอินออร์เดอร์จะดำเนินการเข้าเยี่ยมทรีย่อยด้านซ้ายก่อน จากนั้นจึงเข้าเยี่ยม N และสิ้นสุดการเข้าเยี่ยมที่ทรีย่อยด้านขวา
3. วิธี LRN การประมวลผลของโพสออร์เดอร์ จะเริ่มต้นด้วยทรีย่อยด้านซ้ายจานั้นมาประมวลผลต่อที่ทรีย่อยด้านขวาและสิ้น สุดการประมวลผลที่ N
